ในหนึ่งวันเข็มนาทีกับเข็มชั่วโมงทับกันกี่ครั้งและเมื่อไหร่บ้าง

หาอะไรอ่านใน quora แล้วไปเจอคำถามหนึ่งซึ่งถามว่า จะตัดพิซซ่า 11 ชิ้นให้เท่ากันได้อย่างไร โดยไม่ใช้เครื่องมือที่ไม่น่าจะมีในครัว (เช่นไม้ protractor) ? คำตอบแบบทั่วไปที่หลายคนคิดได้คือตัดแบบ 12 ชิ้นนี่แหละ ซึ่งตัดง่าย แล้วกินไป 1 ชิ้น…..

อีกคำตอบหนึ่งแบบซีเรียสและน่าสนใจมากคือให้ใช้นาฬิกาข้อมือแบบ analog (แบบที่มีเข็ม) คือ ให้นำนาฬิกาไปวางไว้ตรงกลางพิซซ่าแล้วตัดในทิศที่เข็มนาทีและเข็มชั่วโมงเดินมาทับกัน ซึ่งจะทับกัน 11 ครั้งใน 12 ชั่วโมง คำตอบนี้อ่านแล้วประทับใจในความฉลาดของคนตอบมาก

ในเวลา 12 ชั่วโมง ถ้าลองนึกภาพในหัวให้เข็มทั้งสองวิ่งแบบเร็วๆจะพอมองออกว่าทับกันประมาณ 11-12 ครั้ง จริงๆแล้ว 11 ครั้ง เพราะถ้าเราเริ่มที่ 00:00 ครั้งที่ 12 จะกลับมาที่ 00:00 ซึ่งเราไม่อยากนับซ้ำ

คำถามต่อไปที่สงสัยคือ 11 ครั้งนี่เมื่อไหร่บ้าง ? ถ้าอยากลองคิดเองก่อนอย่าเพิ่งอ่านต่อนะ ไปนั่งคิดก่อน

สมมติเวลา ณ ตอนนี้คือ h:m (h ชั่วโมง m นาที) กำหนดให้ H คือตำแหน่งของเข็มชั่วโมง ( $ 0 \leq H < 12$ ) และ $M$ คือตำแหน่งของเข็มนาที $( 0 \leq M < 12 )$ ที่เราอยากรู้คือเวลา h:m ไหนบ้างที่ทำให้ $ H = M$ ลองคิดดูจะรู้ว่า $H = h+\frac{m}{60} $ และ $M = 12\frac{m}{60} = \frac{m}{5}$ จับสองสมการนี้มาเท่ากัน

ซึ่งก็คือ

ที่เหลือก็ลองแทน $h = 0, 1, \ldots, 11$ เข้าไปในสมการเพื่อหา m แล้วจะได้ดังนี้

ซึ่งมี 12 บรรทัด แต่เนื่องจาก 0:0 กับ 11:60 เป็นเวลาเดียวกันจึงไม่นับซ้ำ ใน 12 ชั่วโมงเข็มจึงทับกัน 11 ครั้ง ฉะนั้นในหนึ่งวันเข็มก็ทับกัน 22 ครั้ง